ラグランジュ の 運動 方程式。 ラグランジュ力学

解析力学/ラグランジュ力学と未定係数法

ラグランジュ の 運動 方程式

概要 [ ] オイラー=ラグランジュ方程式は、物理学における最大の指導原理の一つである から導かれる。 これは、との差を与える関数を と呼び、ラグランジアンの時間積分を と呼ぶとき、物理現象は作用を最小化(厳密には極小化)するように動くことを主張する原理である。 オイラー=ラグランジュ方程式は、最小作用の原理を満たす物体の軌跡をで求める事によって導出された方程式である。 最小作用の原理はもともとはニュートン力学(さらにさかのぼればにおける)で発見されたものだが、 、等でも成り立つ物理学の根本的な原理である。 したがってそれらの分野においてもオイラー=ラグランジュに相当する方程式を立式でき、 その方程式はこれらの分野の基礎方程式(、、) と等価になる。 (ただしこれらの方程式におけるラグランジアンは前述の「(運動エネルギー)-(ポテンシャルエネルギー)」の形とは限らない)。 このように最小作用の原理からオイラー=ラグランジュ方程式に対応する式を得るという方針は、様々な基礎方程式に統一的な視点を与える事ができる。 ニュートン力学の場合、ラグランジアンをすることで (=エネルギーに対応する関数)が得られ、 オイラー=ラグランジュ方程式をハミルトニアンを使って書き直す事で が得られる。 これもニュートン力学における基本的な方程式の1つである。 オイラー=ラグランジュ方程式や正準方程式で記述したニュートン力学を という。 なお、ニュートン力学以外の分野の場合、ラグランジアンからハミルトニアン(あるいはその逆)に容易に変換可能であるとは限らない。 また新たな物理学の分野を探求する際、ラグランジアンやハミルトニアンを定義できれば、 そこからオイラー=ラグランジュ方程式や正準方程式に対応する方程式を定式化できることから、 この方程式は未知の領域において基礎方程式を導出する為の強力な手段となる。 一般化座標 [ ] ニュートンの方程式がを用いて運動を記述する必要があるのに対し、 オイラー=ラグランジュ方程式は任意の座標( )を用いる事ができる。 この点においてもオイラー=ラグランジュ方程式の方がニュートンの方程式よりも本質的である事が分かる。 またラグランジアンから 一般化運動量、 一般化力という、運動量と力を一般化した概念が定式化でき、 これらを用いると、オイラー=ラグランジュ方程式は一般化力=(一般化運動量の時間微分)という形に書ける。 ニュートンの運動方程式は、力=(運動量の時間微分)であるので、オイラー=ラグランジュ方程式は ニュートンの運動方程式を一般化座標に拡張したものと捉える事もできる。 計算上の重要性 [ ] 一般化座標を用いる事ができるという事実は、実際に運動を計算する際有利に働く。 例えばの運動を考える場合、ニュートンの方程式ではデカルト座標を用いねばならない関係上、 縦軸方向と横軸方向の2つの変数を必要とするため式が煩雑になるが、 オイラー=ラグランジュ方程式の場合は任意の座標系を用いる事ができるため、 振り子の角度に着目する事で、角度という1変数のみで運動を記述でき、より簡単な方程式が立てられる。 (ここでは振り子の長さは一定であると仮定している)。 もちろんニュートン方程式で立式した後に変換すれば同一の式が得られるが、 オイラー=ラグランジュ方程式の利点はこのような煩雑な変換を施す事なく角度に着目した方程式を最初から直接得られる事にある。 数学における重要性 [ ] オイラー=ラグランジュ方程式はという、解析力学を起源とする数学の分野でも用いられる。 またにおける方程式は、曲線の長さをラグランジアンとした場合のオイラー=ラグランジュ方程式である。 なお測地線は相対性理論では光のを表すので、これはの近代的な定式化になっている。 方程式の詳細 [ ] 以上ではオイラー=ラグランジュ方程式の物理学的な側面を説明したが、方程式そのものは物理学とは無関係に定式化できるので、 まず物理学的な背景から離れて方程式を説明し、その後で方程式のニュートン力学的な解釈を説明する。 なお、ドットは時間による微分を表す。 この式を特に ラグランジュの運動方程式と呼ぶこともある。 上式右辺を 一般化力と呼ぶ事にすると、上述の方程式は「一般化運動量の微分=一般化力」を意味する。 ニュートン方程式は「運動量の微分=力」であったので、オイラー=ラグランジュ方程式はニュートン方程式を一般化座標に拡張したものであるとみなす事ができる。 また、は速度には依らないものとする。 (変分学の基本補題、) 従って、オイラー=ラグランジュ方程式.

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ラグランジュ力学

ラグランジュ の 運動 方程式

概要 [ ] オイラー=ラグランジュ方程式は、物理学における最大の指導原理の一つである から導かれる。 これは、との差を与える関数を と呼び、ラグランジアンの時間積分を と呼ぶとき、物理現象は作用を最小化(厳密には極小化)するように動くことを主張する原理である。 オイラー=ラグランジュ方程式は、最小作用の原理を満たす物体の軌跡をで求める事によって導出された方程式である。 最小作用の原理はもともとはニュートン力学(さらにさかのぼればにおける)で発見されたものだが、 、等でも成り立つ物理学の根本的な原理である。 したがってそれらの分野においてもオイラー=ラグランジュに相当する方程式を立式でき、 その方程式はこれらの分野の基礎方程式(、、) と等価になる。 (ただしこれらの方程式におけるラグランジアンは前述の「(運動エネルギー)-(ポテンシャルエネルギー)」の形とは限らない)。 このように最小作用の原理からオイラー=ラグランジュ方程式に対応する式を得るという方針は、様々な基礎方程式に統一的な視点を与える事ができる。 ニュートン力学の場合、ラグランジアンをすることで (=エネルギーに対応する関数)が得られ、 オイラー=ラグランジュ方程式をハミルトニアンを使って書き直す事で が得られる。 これもニュートン力学における基本的な方程式の1つである。 オイラー=ラグランジュ方程式や正準方程式で記述したニュートン力学を という。 なお、ニュートン力学以外の分野の場合、ラグランジアンからハミルトニアン(あるいはその逆)に容易に変換可能であるとは限らない。 また新たな物理学の分野を探求する際、ラグランジアンやハミルトニアンを定義できれば、 そこからオイラー=ラグランジュ方程式や正準方程式に対応する方程式を定式化できることから、 この方程式は未知の領域において基礎方程式を導出する為の強力な手段となる。 一般化座標 [ ] ニュートンの方程式がを用いて運動を記述する必要があるのに対し、 オイラー=ラグランジュ方程式は任意の座標( )を用いる事ができる。 この点においてもオイラー=ラグランジュ方程式の方がニュートンの方程式よりも本質的である事が分かる。 またラグランジアンから 一般化運動量、 一般化力という、運動量と力を一般化した概念が定式化でき、 これらを用いると、オイラー=ラグランジュ方程式は一般化力=(一般化運動量の時間微分)という形に書ける。 ニュートンの運動方程式は、力=(運動量の時間微分)であるので、オイラー=ラグランジュ方程式は ニュートンの運動方程式を一般化座標に拡張したものと捉える事もできる。 計算上の重要性 [ ] 一般化座標を用いる事ができるという事実は、実際に運動を計算する際有利に働く。 例えばの運動を考える場合、ニュートンの方程式ではデカルト座標を用いねばならない関係上、 縦軸方向と横軸方向の2つの変数を必要とするため式が煩雑になるが、 オイラー=ラグランジュ方程式の場合は任意の座標系を用いる事ができるため、 振り子の角度に着目する事で、角度という1変数のみで運動を記述でき、より簡単な方程式が立てられる。 (ここでは振り子の長さは一定であると仮定している)。 もちろんニュートン方程式で立式した後に変換すれば同一の式が得られるが、 オイラー=ラグランジュ方程式の利点はこのような煩雑な変換を施す事なく角度に着目した方程式を最初から直接得られる事にある。 数学における重要性 [ ] オイラー=ラグランジュ方程式はという、解析力学を起源とする数学の分野でも用いられる。 またにおける方程式は、曲線の長さをラグランジアンとした場合のオイラー=ラグランジュ方程式である。 なお測地線は相対性理論では光のを表すので、これはの近代的な定式化になっている。 方程式の詳細 [ ] 以上ではオイラー=ラグランジュ方程式の物理学的な側面を説明したが、方程式そのものは物理学とは無関係に定式化できるので、 まず物理学的な背景から離れて方程式を説明し、その後で方程式のニュートン力学的な解釈を説明する。 なお、ドットは時間による微分を表す。 この式を特に ラグランジュの運動方程式と呼ぶこともある。 上式右辺を 一般化力と呼ぶ事にすると、上述の方程式は「一般化運動量の微分=一般化力」を意味する。 ニュートン方程式は「運動量の微分=力」であったので、オイラー=ラグランジュ方程式はニュートン方程式を一般化座標に拡張したものであるとみなす事ができる。 また、は速度には依らないものとする。 (変分学の基本補題、) 従って、オイラー=ラグランジュ方程式.

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数式処理ソフトウェアで立式した運動方程式をSimulinkで実行する

ラグランジュ の 運動 方程式

ポテンシャルエネルギーの部分かと思うのですがイマイチ考えが及びません。 外力というのは、例えば単振り子が揺れているところに一方向から扇風機で風を当てるとか、 そういったイメージです。 ラグランジュが向かないとなると、困ってしまいました...。 外力が与えられてる場合、ラグランジュ力学はあまりうまくいきません。 ラグランジアンから運動方程式を導くというのはつまり、「この世にはまずポテンシャルがあり、それにより力が生じる」という思想がある訳です。 予め、外力でなくポテンシャルが与えられていればいいのですけれど、最初に外力が与えられているなら、ニュートン運動方程式を解けばいいのです。 そもそもオイラーラグランジュ方程式と運動方程式は同じものなのですから。 で、外力はTとVどちらになるのかという疑問ですが、Vです。 上に書いた通りポテンシャルと力の関係は「ポテンシャルが力を生む」というものなので。 【補足を受けて】 あまりうまくいかないとは言いましたけど、それは外力が時間依存したり、速度に依存したりする場合です。 つまりポテンシャルが容易にわからない場合です。 他にも摩擦力が働く場合もうまくいかないでしょう。 外力を生むようなポテンシャルがわかるなら、普通にそれをVに入れればいいです。 外力を生むようなポテンシャルであれば、つまりオイラーラグランジュ方程式が運動方程式を再現するようなポテンシャルなら何でもOKです。

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